数字137438691328の意味と解説
6、28、496、8128、33550336、8589869056——この辞典にすでに収録された6つの完全数に続くのが137438691328だ。この数自体は13世紀のエジプトの数学者イブン・ファッルースの著作にすでに正しい完全数として記されていたとされるが、それが『間違いなく7番目である』という数学的な確証を与えたのは、ユークリッドの構成法とレオンハルト・オイラーが1747年に示した逆向きの証明——両者が揃って完成した『ユークリッド＝オイラーの定理』だった。
数学的な性質・豆知識
137438691328は、6・28・496・8128・33550336・8589869056に続く、この辞典で7番目となる完全数だ。2¹⁸×524287という構成を持ち、524287(この辞典にある7番目のメルセンヌ素数、2¹⁹−1)から生まれる。13世紀のエジプトの数学者イブン・ファッルースは著書に完全数として10個の数を挙げたが、正しかったのは最初の7つ(この137438691328を含む)のみで、残る3つは誤りだったとされる。ユークリッドが古代に示した構成法だけでは『これ以外に完全数がないか』は分からず、レオンハルト・オイラーが1747年に逆向きの証明を示して初めて、この数が確かに7番目であることが確定した(オイラーの論文が出版されたのは死後の1849年)。真の約数をすべて足し合わせるとちょうど137438691328に一致し、約数の総数は38個。桁の和は1+3+7+4+3+8+6+9+1+3+2+8=55→5+5=10→1+0=1に還元される。ちなみに2³⁷(137438953472)からわずか2¹⁸(262144)だけ小さいという、この辞典の262144エントリーとも結びつく関係も持つ。
縁起・風水・吉凶
伝統的な吉凶の対象ではなく、この辞典の完全数シリーズ(6・28・496・8128・33550336・8589869056)に続く、数論史上の到達点として知られる数字です。
137438691328は2¹⁸×524287(この辞典にある7番目のメルセンヌ素数)で表される7番目の完全数です。13世紀のエジプトの数学者イブン・ファッルースがすでに著作の中で正しい完全数として挙げていたとされますが、この成果はヨーロッパには伝わりませんでした。ユークリッドが古代に示した構成法と、レオンハルト・オイラーが1747年に示した逆向きの証明が揃って初めて、137438691328が数学的に『7番目』であることが確定しました。
よくある質問
Q. 137438691328が「7番目の完全数」だと、なぜ確定できるのですか？
A. 古代ギリシャのユークリッドは『原論』第9巻で「2ⁿ−1が素数(メルセンヌ素数)ならば、2ⁿ⁻¹×(2ⁿ−1)は完全数になる」という構成法(十分性)を示しました。ただしこれだけでは「この形以外に完全数がないか」は分かりません。この逆——「偶数の完全数はすべてこの形に限られる」という必要性の証明——を示したのがレオンハルト・オイラーで、1747年にベルリン科学アカデミーへ提出した論文で示しましたが、出版されたのはオイラーの死後、1849年のことでした。この両方が揃って初めて、137438691328(=2¹⁸×524287、524287はこの辞典にある7番目のメルセンヌ素数)が「ちょうど7番目の完全数である」ことに数学的な確証が与えられます。
Q. 137438691328は誰がいつ発見したのですか？
A. 記録に残る最初の言及は13世紀のエジプトの数学者イスマイル・イブン・ファッルース(1194〜1252年)にさかのぼるとされます。彼は著書の中で完全数として10個の数を挙げましたが、正しかったのは最初の7つ(137438691328を含む)のみで、残る3つは誤りでした。この成果はヨーロッパには伝わらず、独立に1588年、イタリアの数学者ピエトロ・カタルディが524287の素数性を証明したことで、この辞典にある8589869056(6番目)とともにヨーロッパで確立されました。
出典・参考
公開日: 2026-08-15